宇宙的精灵 #7.2

二

薛定谔说：“我的理论是从德布罗意那里获得灵感的”。我们知道，德布罗意的前驱是布里渊，后者是从原子的周期性运动想到以波动性来解释量子化表征的，而前者则把这个思想推广到一切物质。现在薛定薛要重回原子，因为沿着布里渊和德布罗意的思路，只要从微观粒子的背后或幽深处发现到波动本质，我们就有了一个坚实的逻辑起点，去阐明原子研究中的量子化现象，把一切量子化特征自然地推导出来，而不是需要像爱因斯坦和波尔那样，为解决特殊的问题（光电效应和光谱系），从外面把量子化条件强加进来。

量子力学不是鬼故事，它是讲给我们这些经典（宏观）人听的，并且会有经典的效应，因此根据波尔的对应原理，量子理论必须在经典物理中找到对应的原理。薛定谔波动力学的经典对应原理就是能量守恒定律。看看图7.1这个处在一个下凹坡道的小球，当处在A点时，它具有一个由高度（h）和质量（m）决定的势能；当小球下滑时，随着高度的不断降低，即h值的不断减少，势能也不断减小；但能量守恒定律是不允许能量由有变无的，在势能减小的过程中，另一个量同时就产生和增加了，那是是动能。动能是由质量和速度（v）决定的，在A点时，速度为0，动能变为0，而随着小球高度的不断降低，速度则不断的加大，也就意味着动能不断的加大，这个增加的动能恰好等于减少的势能，所以能量永远不多一分也不少一毫。到坡底，势能达到最小值，动能达到最大值，这个动能将使小球上爬到与A点等高的高度B，这是一个与下滑相反的逆过程——动能渐次减少，势能渐次增加，但无论怎样，动量（K）与势能（V）之和的总能量（E）永远是不变的——

E=K＋V

图7.1  引力场中的能量转换和守恒，在没有外力作用的理想条件下，小球会永远在A点和B点之间永远的运动下去。

由于动能与动量（p=mv）的关系是：K= p²/（2m） (p 为动量，m为质量) 。所以能量关系式可改写为——

E= p²/（2m）＋V

这个能量关系式同样适用于描述电学运动，不过势能不是由引力场子引起的，而是由电势场引起的。正电荷与负电荷之间会产生相互吸引的电势能，负电荷与正电荷接近时，动能增加而势能减小，远离时势能增加动能减小，与引力场中的小球下坡和上坡的情形完全一样。

从这个的能量式出发，再利用德布罗意的动量与波长的关系式（λ= h/ p），薛定谔就猜出了一个波动方程，即以后命名的“薛定谔方程”——

Eψ=－[（h/2π）²/（2m）]（d²ψ/dx²）＋Vψ

这个方程也叫“定态薛定谔方程”。不必去琢磨这个公式，只看看与前面那个经典的能量关系式是不是有点相像？都由总能量、动能和势能三项组成，是一个能量守恒式。这里ψ就是传说中的薛定谔波函数，代表波函数的振幅，中文就念“普赛”吧；h是普朗克常数，E是体系总能量，V是势能。ψ就是微分算子的本征函数，而求出的解就是这个算子的本征值。

薛定谔方程作为一个线性微分方程，作为它的解的波函数必须是平滑而连续的，如何能解释电子的分立间断的量子化现象呢？如何获得波尔式的稳定的量子化轨道（能级）呢？

关键在于电子不像小球那样是一个实物，或者说是一个粒子，而是一个波动。如图5.2所示，一根两固定的琴弦只能有限多个分立的振动模式，而每一种振动模式都是由有限多个波长相等的波构成，如n=1（一个半波）的波长最长的“基波”，及n=2和n=3（两个半波和三个半波）的波长相对较短的“谐波”。电子也一样，由电子的负电和原子核的正电构成的电势场就是一个束缚电子的“势阱”，像图7.1中两边陡峭的坡道一样限制着小球在A和B之间运动，或者如图5.2中两端固定的点限制着琴弦在这个距离间振动，原子的电势场同样决定了电子只能有有限多个能级或轨道，比如n=1是波长最长的基态，n=2、n=3……等波长越来越短的激发态，每一种定态都是严格符合“有限多个”和“份量相等”的量子化特征的（图7.2）。哈哈！平滑连续的的微分方程照样可以自然而然地导出分立间断的量子化结果！

图7.2 波动说诠释的原子中的量子化能级

    打住！前面已经说了，电子轨道根本就是观察不到的，属于必须推翻之列。为此，海森堡和玻恩他们才劳神费力地去搞什么魔术乘法和矩阵运算。

那是他们傻。波尔不是还有光谱系吗？每一条谱线都表征二条轨道的能量差。不要造反派脾气，动不动就打倒、推翻。还是回到波尔的轨道。被光谱表征的二条轨道，就像二条首尾相接的弦环，都由有限多个波长相等的波节构成；不同的只是，二条轨道的能量不同、振幅不同、波长不同、频率不同。当然“轨道”只是一个比喻，它们确实是不存在的，存在的只有包围着原子核的波。

好，现在两个弦环就像两个乐器按自己的频率各唱各调。音乐里两个频率不同的音律同时奏响会产生“拍频”现象，这是由声波的互相干涉造成的。两列频率不同（但相近）的波干涉时，振动方向相同时振幅得到加强，相向相反受到削弱。现在这两条轨道（两根弦），一条每秒振动100次，另一条每秒振动101次。开始时，二列波的振动方向基本相同，所以振幅得到加强；到半秒的时候方向就正好相反了，因为一条正好运行完50个波，另一条正运行到50个半；这时振幅又受到削弱；到一秒时方向又开始一致，振幅又开始加强；两列波有规律的由同相而异相，然后又同相，由此就形成强弱相间的第三列波——“拍频”。（图7.3）

图7.3  频率和振幅不同的两列波x₁和 x₂相干，会产生一个振幅强烈变化的拍频（x₁＋ x₂），大振幅是两列波同相相干的结果，小振幅是异相相干的结果。

看清楚了吗？光谱不正是拍频吗？它们是电子不同轨道振动方式相干的结果，表征的是电子在不同轨道之间的转换！薛定谔说：“电子跃迁的概念与量子跃迁中能量从一种振动模式传递到另外一种模式的概念相统一”，而“振动模式的变化可以在空间和时间中连续发生”。量子力学何需那样神秘莫测、离奇诡异？令我们无法想像的波尔“鬼怪式的跃迁”被消灭掉了，令我们头痛的海森堡那种抽象晦涩鸡零狗碎的矩阵运算被取代了，我们完全可以继续使用大家熟悉的传统数学方法，建立起广大人民群众喜闻乐见的直观模型。

啊！原子世界本来就不是那样的阴森恐怖晦暗芜杂，天空晴朗，白云飘荡，风云际会之时叠加出七彩绚烂的彩虹，不同位置的电子合唱出最优美的和声，让人心醉神迷。