宇宙的精灵 #b20.2

补丁 20.2

虚数和虚时间

科学创造是一件很过瘾的事——你就是上帝，按照你的审美原则创造一个完美的世界，当然，要得到你的同行的公认才能进入历史。

从古希腊起，哲学家就认为数学是一个按美的原则建构的世界。这个世界当然是圆满而对称的：正数和负数对称，有理数和无理数对称，这些可以在经验世界找到对应的数合称“实数”。数学体系建立的过程中，数学家发现如果没有“虚数”，这个世界将是不圆满的。16世纪意大利数学家塔塔利亚等人得出一元三次和四次方程式的根的表达式，但发现即使只考虑实数根，仍不可避免面对负数方根。不建立一个与实数对称的数，这些负数方根将无处安身，数学世界也就不是圆满的。于是演绎出一个“复数”——a＋bi其中a为实部，b为虚部，i为虚数。虚数“i”来到数学世界。正如负能解的有狄拉克方程很优美一样，有虚数的数学体系漂亮多了。

i＝√￣－1，这就意味着i×i＝－1，2i×2i＝－4，3 i×3i＝－9，这就完全颠覆了任何实数自乘都等于一个正数的观念，我们无法对这种数学现象作经验解释。17世纪创立了解析几何的法国数学家笛卡尔对这种疯狂数学非常不满，称之为“子虚乌有的数”。以后大家就把i称为“虚数”——一种不存在的数。

不管现实世界存不存在，数学世界的合格公民是复数而不是实数，实数不过复数在虚部b为0时的一个特例——a＝a＋0i。正如波函数概率解释说，事物是概率决定的，严格决定不过是概率等于1时的特例。

玻恩、海森堡和薛定谔等物理学家在建立量子力学的数学模型时都发现，必须借助于虚数i才有可能。薛定谔是特别地不忿，因为他是一个本质论者和还原论者，希望波函数是一个一元决定万物本质和规律的东西，他希望一个ψ包打天下，但他的体系却告诉他，没有一个包含虚数的iψ共轭，就无法定义一个波。

1930年代末，希尔伯特、冯·诺伊曼、朗道和维格纳等数学家和物理学家为量子力学量身定制了数学形式——“希尔伯特空间”，人们才明白了i的物理意义：原来有限维的欧几里德空间根本容纳不下量子力学，量子理论必须建立在复数域上无限维的希尔伯特空间中。

我们的经验世界就是有限维度的，三维空间一维时间，你弄出个无限维是什么意思？我们就得复习哥本哈要诠释了。微观世界与宏观世界具有不通约性，量子规律必须用量子语言才能表达，用量子数来定义和演绎。希尔伯特空间，就是在量子山头该唱的歌。

无限维度的希尔伯特时空的意义，到了费曼才得到了彻底地揭示。在经典有限时空中，粒子的路径是唯一的——最小作用量的路径，可是量子力学的粒子路径，却必须是它的所有可能路径的求和。粒子从A到B，有无限可能的路径，当然就需要一个无限维度的空间。每一个可能的路径或历史，都用一个波函数来表征，而每一个波函数都包含了两个因子：一是振幅，代表在某处出现的概率；二是相位，振动的位置。狄拉克早就揭示出，虚数i包含着相位信息。相位信息太重要了，一个波函数的振幅其实是虚的，“真实的”（即产生宏观效应的）振幅是所有波函数的叠加。形像地说，一个波函数的振幅只代表该函数对路径选择的个人意愿，最终路径决定取决于这个波函数的相位在这场选择的投票中所产生的效应——它与别的波动是同相倍加呢，还是异相抵消？路径积分方法揭示出最小作用量原理的形成机制——它不过是波函数叠加所产生的一个波的峰值。

宇宙的演化也像最小作用量原理一样神奇，宇宙的膨胀率精确到小数点的后10位，在这个数量级上，大点宇宙就在大爆炸后几百万年趋于无形，小一点则在大爆炸几百万年后重新坍缩。为什么是这个膨胀率，而不是大一点或小一点的？解释这个问题最方便的办法是请出上帝，“人存原理”的人为解释则陷于独断（没有道理的道理）。用路径积分的方法，则所有可能一律平权，在宇宙演化的过程中，所有可能的膨胀率是共存的，而我们观察到的这个真实的宇宙，不过是所有可能膨胀率的历史的求和。用这种方法，我们才有可能建立一个宇宙演化的自持的历史，而不需要借助上帝或者陷于独断。不过，“真实的”一维时间容不下无限个历史，因此我们只能引入具有无限维度的“虚时间”。

无限维的时间不也是一种独断吗？你何以证明它的存在？从海森堡到霍金这些实证主义者是拒绝讨论这个问题的，因为这只是我建立数学模型的一种方法，我并不要求它真实存在。你对我的要求只能是：我的这个模型能不能逻辑自洽地解释观测到的现象，能不能作出能被观测证实的经验预言。

（文中使用了紫狼星主送的开方号√￣，特此鸣谢！）