三
当费曼走进历史，量子力学的英雄时代已经过去，海森堡用粒子材料，建筑起了辉煌的矩阵力学的金字塔，薛定谔用波动面料，剪裁出美如霓裳的波动力学，而狄拉克鬼斧神工地完成了华丽的综合。这都是欧洲人干的漂亮活，那时的美国人只能乡巴佬似的欣赏大洋彼岸的杰作。也许是上帝眷顾美国，留下一个发散问题，给年轻的费曼一个创造历史的机会。
量子作为粒子，科学家就考虑确定她的位置和动量；作为波动，科学家就考虑确定她的波长和振幅；现在，物理学进入综合时代，研究量子间的相互作用，“作用量”这个物理量就成了关键词。这个词代表着一种研究方法：通过确定的初态和终态，分析起点和终点间物质运动的每一个点的状态。1941年一次酒会上费因曼碰到一个欧洲物理学家耶勒，闲聊中费曼问起“你知道有什么方法能从作用量出发来构造量子力学吗？”耶勒说不知道，倒是记得几年前狄拉克的一篇文章中谈及于此，但看不懂。第二天俩人一块到图书馆，找到这篇发表于1933年的论文《量子力学中的拉格朗日量》。翻开一看，发现狄拉克的一句话：“我所用的函数类似于拉格朗日量”。费曼心有灵犀一点通。
拉格朗日量其实很简单。一个铅球从运动员手里掷出，在空中画出一条抛物线最后在前方某点落地。在这条轨迹上的每一点，铅球都会有一个动能（T）和一个势能（V），在铅球质量确定的条件下，动能由速度决定，势能由高度决定。在任一点上，动能加势能之和都是一样的，这叫能量守恒。拉格朗日量（L）则是动能减势能的差值（L＝T－V），显然会点点不同，铅球刚出手时数值很大（动能远大于势能），以后逐渐减小，以后变为负值（势能大于动能），然后又正值……如果用一个平面坐标表示，会是一个波浪形的曲线。道理相信不用讲了。在经典哈密顿方程中，把铅球在每个点的拉格朗日量都累加起来（积分），得出的总的作用量叫哈密顿作用量。理论上，铅球在空中飞行的轨迹可以有无限多条。但奇妙的是，对于确定的两点，只要时间确定，轨迹就是唯一的，那就是哈密顿作用量最小的那条！这就是中学时期巴德老师给费曼讲的“最小作用量原理”。想起来了吧？我在第八章的第四节里讲过这个规律，大家找来复习一下。
喂！这讲了老半天，跟量子力学有关吗？当然有关，你没懂狄拉克的话吗？——“我所用的函数类似于拉格朗日量”。费曼可是听懂了。看图18.1：一粒电子从A到B有多数可能的路径，除图中所示，你还可以发挥想像力加上N多条，比如，像飞行表演那样，向后做一个漂亮的大翻转然后再继续前行。可是这些都是“可能的”的路径，实际上电子会选择哪一条呢？更准确点说：哪一条路径的可能性更大？
图18.1
在量子力学，每一种可能路径都可以用一个波函数来表征，这个函数不仅包含了波长和振幅等信息，很重要一点，还包含了相位信息。由于路径的不同，走不同路径的电子到达B点的时间就不同，从而相位也不同。记住狄拉克的话，每一个波函数都相当于一个拉格朗日量，那么确定正确的路径就要对所有的拉克朗日量做积分，在费曼这里，就是要对所有路径“遍历求和”。
还记得波干涉原理吧？——同相倍加，异相抵消。你那条漂亮的后翻转路径一点希望也没有，你自我陶醉一轮再到达目的地时，相位已经跟别的路径天壤之别，没谁会帮你增强振幅，而老老实实走直线的那条路径，一定有最多相位相近的波函数与它共振，从而形成最大的振幅。按波函数的概率解释，振幅正比于粒子出现的可能性，也就是说，从A到B，概率最高的路径依然是经典路径——直线。形像一点，电子是在无限多的路径中选择了直线，或者说，不是电子选择了直线，而是由于干涉效应，其他的路径被抵消掉了，剩下概率最高的一条路径，正是作用量最小的路径。于是，量子力学概率最高的路径，就对应于经典的作用量最小的路径。
现在再复习第十一章第三节。费曼说：“双缝实验隐藏着量子力学的全部秘密”。双缝实验，如果是同时打开双缝，量子（电子或光子）会在背景屏造成干涉条纹，但如果双缝是依次打开，则只会造成两条单缝衍射条纹。如果是同时发射许多个（比如说几百万个）量子，这还好解释：同时打开比缝时量子的物质波之间产生了干涉效应；反之就不能产生干涉效应。问题是，哪怕让这几百个量子一个一个的发射，效果毫无二致，怎么解释一个量子同时穿过双缝，自己跟自己产生干涉效应？难道上帝在hold这一切？或者每个量子都有自我意识，并且还是一个天才数学家？
现在就豁然开朗了：一个电子或光子照样遍历几百万条甚至更多条路径，路径与路径之间照样产生干涉，因而到达背景屏的概率跟N多个量子叠加成的概率曲线是一样一样的，正如把一只骰子掷100次，跟100只骰子掷一次得出的概率是一样的一样。
这就是费曼的“路径积分”理论。路径积分不仅可以解释量子行为，在极限的条件下，它又退化为经典方程，完全满足波尔的对应原理。
我们知道，量子力学的建立，是从泡利和海森堡他们拒斥直观模型，否定波尔和索末菲的“轨道”概念开始的，现在“轨道”又以“路径”的方式复活。费曼说，当我考虑量子的相互作用时，一些直观的图像总是在我的脑海里活生生的出现。从“路径积分”理论，费曼发展出后来称为“费曼图”的方法，用矢量线、各种特殊的曲线，表示量子之间的碰撞、能量交换、产生和湮灭等等，使量子的相互作用变得一目了然。而一幅费曼图所表现的作用过程，也许需要几百个方程，计算上几个月。我们除了叹服费曼惊人的洞悉力和直觉能力，还得看到这确实体现了一种美国的实用精神。
路径积分在量子力学史是什么地位？海森堡等人从粒子性出发用矩阵方法建构出量子基本运动方程，薛定谔从波动性出波函数的方法又建构出量子另一个等价的运动方程，时隔16年之后，费曼又从作用量出发用路径积分的方法对量子运动规律进行了一次全新的重构。仅此一项，费曼就足以与海森堡、薛定谔和狄拉克等已经被公认的大师比肩。况且，掌握了作用量这个武器，使费曼最终拯救了被狄拉克判了死刑的量子电动力学。这一年，费曼24岁。然而，1942年写进了路径积分理论的博士论文并没有发表，激烈而惨烈的二战俘获了已经全部的注意力，物理共同体没有正常的学术交流，科学家们没有心平气和的理论兴趣。费曼本人，阿琳的病情让他忧心，战时科学也偏转了他的学术轨迹。路径积分理论，“养在深闺人未识”。
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