董世平：哥德尔不完备性定理

哥德尔(Kurt Godel) 于1931年发表了他的「不完备定理」(Incompleteness Theorem)，至今正好六十年。为此，在哥德尔的求学地维也纳，特别召开了一个会议，讨论哥德尔这个定理所带来的影响。的确，这六十年来，常在不同的领域内，发现到这个定理的影响，而这个定理在不同领域中的应用，甚至引起了相当的争议。



哈佛大学于1952年授与哥德尔荣誉科学博士学位，称他为「本世纪最重要数学真理的发现者」，这里所指的数学真理即为「不完备定理」。虽然当时是1952年，但已宣称此定理是本世纪最重要的数学真理，可见此定理的重要性，不仅可说是空前，亦可称为绝后了。「不完备定理」到底是一个什么样的定理？本文将简介此定理的背景、证明及它对数学、计算器和哲学的影响，盼望大家对这个定理能有较深入的认识与体会。



背景



自第十九世纪后期，「集合」的观念被提出后，数学家们逐渐的感到，各个不同的数学领域，似乎皆可建立在同一个根基上，就是「集合论」，但是不幸的，过不久逻辑学家们即发现以「集合」这么简单，而且直觉上认为「真」的概念，却会产生「反论」(antinomy)，即「集合」的概念会产生矛盾，这使得数学家们重新思考数学的基础到底是什么？数学会不会出错？如何面对一个直觉上为真，却会导致矛盾的概念？是放弃「集合」的概念呢？或是如当时顶尖的数学家希尔伯特(Hilbert) 所宣称的：「没有人能将我们逐出集合论的乐园！」。若是如此，又将如何面对矛盾呢？



以总共不到17页的三篇论文，一个年轻的荷兰数学家布饶儿(Brouwer) 对以往古典逻辑的确实性提出挑战，特别是对所谓的排中律(Law of the excluded middle)，即对任一命题「A」，A或A之否定命题必有一为真，他认为我们不可无条件的接受，布饶儿坚持有其它的可能性，因此也就有了数学哲学中的直观主义(Intuitionism) 学派，若接受了此一说法，连带的，数学中许多的证明将不再被接受，特别是所谓存在性的证明。例如，要证明某一微分方程式有解，则必须给出一个方法，把这个解找出来，而不可仅证明「若无解会导致矛盾」，而这却是一般数学家们所常用的方法。希尔伯特不赞成布饶儿的看法，他认为若是如此数学的牺牲实在太大了，那么要如何使数学能立在一个坚固的基础上呢？为此他提出所谓的「希尔伯特计划」(Hilbert program)，即以有限性(finitary)、组合式(combinatorial) 的方法，由简单的理论开始，先证明「数论」有一致性(consistency)，即「数论」中不包含矛盾，再以「数论」为基础证明「分析」有一致性，再一步步往前推，至终证明数学中不包含矛盾，只要能证明即使使用排中律也不会产生矛盾，那么尽可放心大胆的去使用排中律，不必像布饶儿那样束手束脚。



「希尔伯特计划」是一个很好的计划-如果能成功的话。在讨论此计划的成败之前，我们先介绍另一个观念，上文我们说明了一致性。的确，一致性可说是对任一公设系统，最基本的要求，若一个系统内包含矛盾，其它的也就不用再谈了，对公设系统我们另一个希望有的性质就是完备性(Completeness)。我们用自然数1,2,3,……来说明这个观念。我们要证明有关自然数的定理，如「质数有无穷多个」，我们若要将证明整个一步步写下来，我们必须从某一个公设系统出发，其实任一个证明，都必须从某一个公设系统出发。对于自然数我们最常用的公设系统就是皮亚诺公设(Peano Axioms)，这些公设中最复杂而且困难的，（不仅对一般的高中，大学生如此，对逻辑学家亦如此），就是大名鼎鼎的「数学归纳法」。借着数学归纳法及其它的公设，我们可证明「质数有无穷多个」，问题是「是否所有有关自然数的叙述，只要是对的，就可由皮亚诺公设出发，而得到证明呢？」也就是「皮亚诺公设是否完备?」若皮亚诺公设具有完备性，那么所有有关自然数的叙述，若是对的，就可由皮亚诺公设证明。



由哥德尔不完备定理而得的一个结论，就是「皮亚诺公设是不完备的！」有些关于自然数的叙述是对的，但皮亚诺公设无法证明它，哥德尔的证明也的确告诉我们如何找到这个叙述。事实上，由哥德尔的证明，我们可得一个算则，给我们一个公设系统，我们就可按此算则，而得到一个算术句型，再经过适当的编译(compile)，即可成为此系统内的一个句型，而此句型在此系统内为真，却无法在此系统内被证明，所以也许我们会觉得皮亚诺公设不具有完备性，这是它的缺点，我们应当找另一个具有完备性的公设系统来代替它，但不完备定理告诉我们，「任何一个具有一致性的公设化系统皆是不完备的！」这也就是为什么虽然大家明知皮亚诺公设是不完备的，但这个公设系统仍是被普遍的使用，因为任何其它系统，也都是不完备的。也许我们再退一步，皮亚诺公设固然不具有完备性，我们至少可要求它具有一致性吧！也就是皮亚诺公设所证明的，一定是真的，可惜，这一点也做不到，由不完备定理可得另一个结论就是「在皮亚诺公设系统内将无法证明它的一致性！」从某一方面来说，你须要假设比「皮亚诺公设是一致的」更强或相等的假设，你才能证明皮亚诺公设的一致性，当然我们若须要更强的假设，也就须要更大的信心去相信它是对的。同样的，皮亚诺公设也没那么特殊，就像不完备性的结果一样，由哥德尔不完备定理，任一个足够强的公设系统，皆无法证明它本身的一致性，所以要证明数学具有一致性，即数学中不会产生矛盾，你将无法由数学中得到，你必须靠数学以外的东西，也许是你个人的哲学或神学，来相信数学是有意义的，这可说是粉碎了「希尔伯特计划」，难怪当希尔伯特由他的学生伯内(P. Bernay) 处听到哥德尔的这个定理时，他对这一个定理感到生气，因为他将无法响应布饶儿的挑战了，但在真理面前，人人都须低头。



叙述与证明



以上简述了不完备定理的背景，现在我们来叙述不完备定理，一般所谓的不完备定理，分为两个部份：

第一不完备定理；任何一个足够强的一致公设系统，必定是不完备的。即除非这个系统很简单，(所以能叙述的不多)，或是包含矛盾的，否则必有一真的叙述不能被证明。

第二不完备定理：任何一个足够强的一致公设系统，必无法证明本身的一致性。  所以除非这个系统很简单，否则你若在此系统性，证明了本身的一致性，反而已显出它是不一致的。



哥德尔的证明过程相当复杂，而其中最核心的概念，是古典希腊哲学中一个有名的诡论(paradox)：说谎者诡论。纪元前6世纪希腊时代的一个诗人哲学家Epimenides 说了一句很有名的话：「所有的克里特岛人都是说谎的。」这句话有名倒不是因为它是真理，正好相反，因为它一定是错的，为什么是错的呢？因为说这句话的人Epimenides 就是克里特岛人，同样一句话，别人说也可能是对的，（希望不致冒犯了克里特岛人），但是由克里特岛人来说，就一定是错的，为什么呢？若这句话是真的，则Epimenides 没有说谎，和这句话矛盾，所以这句话是假的。我们再举一个例子来说明这个诡论。



A：B这句话是真的。

B：A这句话是假的。



我们可能会认为A(或B)这句话非真即假，且让我们来看看是否如此，假设A这句话是真的，即表示B这句话是真的，故「A这句话是假的」是真的，故A这句话是假的，和假设矛盾。我们现在假设A这句话是假的，则「B这句话是真的」是假的，故B这句话是假的，所以「A这句话是假的」是假的，即A这句话是真的，这又和我们的假设矛盾，结论是，A不论是真是假都得到矛盾，大家若有兴趣，不妨从B句开始，亦得到相同的结果，这就是它之所以被称为诡论的缘由。



哥德尔是如何利用这个概念呢？若说：「这句话是假的。」那么利用前面的论证，这句话是矛盾的，所以任何一个一致的公设系统都无法说出这句话来，而哥德尔将上面的这句话改为「这句话不能被证明。」

注意，「真」和「能被证明」并不相等，同样「假」和「不能被证明」亦不相等。哥德尔证明了在皮亚诺公设内，（其实不需要用到这么强的公设）可以说出「这句话不能被证明」，若愿意接受这件事，我们即可证明不完备定理了，为证明方便，我们称「这句话不能被证明」为A，若在此系统内A被证明了，则由A的意义，即A不能被证明，知道「A」是假的，而在此系统内证明了一个假的叙述，表示此系统是不一致的，故若此系统是一致的，则A不能被证明，则由A的意义得知A是真的，因它说它不能被证明，因此我们也就找到了一个叙述，即为A，它是真的，却无法被证明。任何一个公设系统若能说出「这句话不能被证明」则此系统若非不一致，就是不完备。为了确知是否清楚了这个概念，读者不妨作一个测验，「没有真理！」是真的吗？



对数学的影响

                                           

何谓数学？对这个问题，不同的人会有很不同的答案，但是每一个数学家所努力的，都是要找到「证明」，从大家所接受的公理或公设出发，找出对某一个题目的证明。从希腊时代，就留下了许多的问题，有许多的问题，经过了数学家们的努力，我们已知道了答案，也就是我们找到了「证明」，如所谓的几何三大难题，而有些至今尚未解决，如「双生质数是否无限多？」任何一个问题，我们总是盼望找到「证明」，不论是证明它是真的，或是证明它是假的都可以，不论是证明「双生质数是无限多」，或是证明「双生质数是有限的」，都将是一个非常轰动的结果。若是找不到证明，则认为也许是自己才智不够，或是时间尚末成熟，真的是如此吗？



1930年希尔伯特接受Konigsberg 赠予荣誉市民时，发表了一个著名的演说，演说辞的最后两句话为。

「我们必须知道，我们将会知道」(Wir müssen wissen. Wir werden wissen.)



当年希尔伯特的演讲所灌制的唱片，现在仍然保存着，我们若仔细听，仍依悉可听到希尔伯特讲完这句话时，得意的笑声。对着数学抱着如此的信心，相信是极大部份的数学家所共有的，希尔伯特清楚且有力的表达出来，只可惜这个信心是没有根据的，而且没有多久，就被证明如此乐观的信心是错的，因为1930年11月17日，《Monatshefte fur Mathematik und Physik》这个期刊接受了当年25岁的哥德尔所投的稿，证明了不完备定理，有些命题是真的，但无法被证明，数学家也许有信心（事实上由不完备定理可知这个信心是无法证实的）说：「被证明的就是真的」，但再也无法说：「真的一定会被证明。」



自哥德尔证明了不完备定理之后，许多数理逻辑学家们即努力去找一个数论中为真，但无法用皮亚诺公设证明的叙述，花了将近半个世纪都没有找到，因此也就有人说哥德尔所指的「为真但无法证明」的命题，可能和真正的数学无关，即一个真正研究数学，而非研究逻辑的数学家，将永远不会遇到这样的命题，不完备定理是逻辑上的一个有趣的定理，但对数学没有影响，所有的数学问题，如「双生质数是否无限多？」，我们仍迟早会知道答案。1978年Paris 和Harrington 终于找到了组合学Ramsey 理论中的一个命题，它是真的，但无法用皮亚诺公设证明，后来其它的学者又陆续发现了许多这样的命题。对任何一个数学命题，我们当然要想法子证明它是真的，或找反例证明它是错的，若是都不成功的话，也许该听听不完备定理所给的建议，尝试去证明「此命题无法被证为真」，或「此命题无法被证明为假」，以往数学家只有两条路可走，证明是真的，或证明是假的，如今又多了两条路，不能被证明是真的，和不能被证明是假的。要提醒大家注意的，就是第三条和第四条路彼此并不相斥，集合论中有名的「连续统假说」(Continuum Hypothesis)，即被证明以现有的集合论公设，无法证明它为假（哥德尔1936年的结果），亦无法证明它为真（Paul Cohen 1963年的结果）。



对计算机的影响



哥德尔于193l年发表了不完备定理时，还没有现今所谓的计算机，对于计算机如何发明的，至今仍众说纷纭，我们引用普林斯顿高等研究院1978-1979年度报告中所摘录曾任美国国家科学院副院长的Mac Lane 的一段话：「哥德尔伟大而抽象的逻辑工作，有个令人惊异的结果。在分析哥德尔所描述的何者可被一步步程序所得的正式方法中，年轻而聪明的英国逻辑家图林(Alan Turing) 定出了这程序所得的结果，即一般递归函数(general recursive functions)，这也正是一台机器所可能计算的，借着这个分析，及其在John Von Neumann 等人身上的作用，以致现代计算器的理论观念及分析得以开展，直至今日，对于何者可被计算的理论描述，及至更深入的分析，我们可正确的说，仍然根植于哥德尔于1931年所发表的数理逻辑论文中。」



我们再举两个较近的例子：计算机病毒与人工智能。对于计算机病毒，几乎所有使用计算机的人都遇到过，人人闻之色变，因为感觉防不胜防，事实上，的确如此。我们不时警告，又有某种新的病毒出现了，然后解毒专家们再设计一个新的解毒程序来破解它，在广告中常看到说某种解毒程序如何如何有效，可解多少多少种病毒，脑筋动的快的人，也许会想，为什么不设计一种万灵丹？可解所有已知及未知的毒，别的不说，钱肯定是可赚得不少，当然也可能有些人会想设计出一种病毒是杀不死的，哥德尔不完备定理告诉我们的是，「没有万灵丹」，也「没有杀不死的病毒」，对任何解毒程序，我们皆可设计出一种病毒，使得这个解毒程序杀不死它，同样对任何病毒，我们都可设计出一个解毒程序，把这个病毒杀死。总之，不论是放毒或解毒的人，都不会没事干，我想这是个坏消息，也是个好消息。



计算机能不能跟人脑一样？计算机和人脑的差别在那里？这是常被提出的问题。使计算机跟人脑一样，这是人工智能学家努力的目标。英国剑桥大学的数学物理学家，亦为皇家学会的院士Roger Penrose 对这个问题，写了一本出乎他自己意料之外畅销的书《皇帝新脑》（The Emperor's New Mind）。1990年7月2日的时代杂志也报导了这本书，而时代杂志用了一个唯恐天下不乱的标题〈那些计算机都是笨蛋！〉(Those computers are dummies)。的确，此书一出又引起了正反双方的论战，Penrose 当然提出许多论证来支持他的论点，即人工智能是有其限度，他最重要的论证即根据哥德尔不完备定理，事实上，这个论证早就被提出过，另外一本使哥德尔较为人所知的书，即为得1979年普立兹奖(Pulitzer Prize) 的书《哥德尔，艾叟，巴哈》(Godel, Escher, Bach)，作者Hofstadter 分别以艾叟的画，巴哈的音乐来阐述哥德尔的定理，就像Penrose 的书，这本书也是介绍人工智能，夹议科学哲学的书，Hofstadter 同样以不完备定理说明人工智能所会受到的限制，但Hofstadter 对人工智能的发展是乐观的。








参考：哥德尔不完备性定理的哲学思考 



2012年08月05日星期日9:40

作为20世纪数学理论最重要的成果之一，哥德尔不完备性定理被誉为“数学和逻辑发展史中的里程碑”[1]。哥德尔定理的提出不仅具有数学意义，而且蕴含了深刻的哲学意义。历史上从来没有哪一个数学定理能够如它一样，对人类文明产生如此广泛而深远的影响。随着科学技术的进步，哥德尔思想的深刻性和丰富性，必将在人类理性的发展过程中不断突显出来，并不断为人的思维所理解。

    一

    哥德尔不完备性定理是数理逻辑学中论述形式公理化系统局限性的两条重要定理，它由伟大的奥地利数学家哥德尔于1931年提出。哥德尔写道：“众所周知，数学朝着更为精确方向的发展，已经导致大部分数学分支的形式化，以致人们只用少数几个机械规则就能证明任何定理。因此人们可能猜测这些公理和推理规则足以决定这些形式系统能加以表达的任何数学问题。下面将证明情况并非如此。”[2]

    哥德尔第一条定理指出，若形式系统是相容的，则此系统必定是不完备的。也就是说在系统中的一个有意义的命题，既不能用系统中的公理和推理规则加以证明，也不能用系统中的公理和推理规则加以否证，即成为不可判定的命题。那么有什么命题是不可判定的呢？哥德尔第二条定理说，上述形式系统的相容性就是不可判定的。

    以前数学家总以为：如果某个命题是正确的，一定可以用数学演绎方法证明其为真；如果某个数学命题是错误的，也一定又可以用数学演绎方法证明其为假。正如法国数学家庞加莱所说：“在数学中，当我拟定了作为约定的定义和公设以后，一个定理就只能为真或为假。但是，要回答这个定理是否为真，就不再需要我们将要求助的感觉证据，而要求助于推理。”[3]哥德尔不完备性定理的建立一举粉碎了数学家两千年来的信念。它告诉我们，真与可证是两个概念[4]。“可证性”涉及到一个具有能行性的较为机械的思维过程；而“真理性”则涉及到一个能动的超穷的思维过程。因此，可证的一定是真的，但真的不一定可证。从这个意义上说，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎著名数学家外尔发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”[5]266

    二

    哥德尔的结论是划时代的，著名物理学家惠勒在1974年发表的一篇文章中就曾断言：“即使到了公元5000 年，若宇宙仍然存在，知识也仍然放射出光芒的话，人们就将仍然把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”[1]哥德尔思想具有潜在的科学和哲学价值，它已经被引申到自然科学乃至人文科学的各个角落，对数学、逻辑、语言、人工智能、自然科学、思维科学和认识论的研究提供了有益的启示。

    第一，哥德尔不完备性定理深刻地揭示了形式系统的内在局限性。这种局限性是由形式系统的本质所决定的，是不可克服的。因为一个形式体系的无矛盾性在本质上是超越这个形式体系的。它处在一种两难境地：或者允许在逻辑思维中有矛盾存在，或者承认存在着逻辑方法证明不了的本逻辑系统内部的问题。因此，那种希望把数学搞成一个形式化系统，希望所有的猜想都能从逻辑出发加以判定，希望永远不发生“出乎始料”的事，是不可能实现的。数学不等于逻辑，重要的数学成果并不总是能从公理直接逻辑地推出，数学的神奇之处主要扎根于观察、直觉和灵感。

    事实上，不论是作为科学认识前提的公理、假设，还是在一定前提下的逻辑推理，都有其预设的不可证明的信念。人类认识世界总在一定的信念指导下的逻辑展开，并在获得新知识的过程中不断扩展着对世界新的观念。因此，信念的合理性是相对的，它要随着认识的深化而不断发展变化。在信念转化为知识的过程中，真正起作用的是科学家的非机械的、非逻辑的智力创造，逻辑的一致性只是一种理想的指向和要求。

    第二，哥德尔不完备性定理也进一步揭示了人工智能系统的局限性，从本质上证明了机械论、还原论是错误的。按照他们的观点，精神活动过程同机器执行程序一样，不过是在从事某种良定义的被称为“算法”的运算过程，而人脑和简单的计算机的主要差别仅仅在于人脑活动具有更大的复杂性，或者表现为更高级的结构，人的所有精神品质，包括思维、情感、智慧、意识都不过是大脑执行的“算法”特征而已。

    但是，人脑终究不能解释成机器，计算机绝不可能超越人类心智。“因为，无论我们构造出多么复杂的机器，只要它是机器，就将对应于一个形式系统，就能找到一个在该系统内不可证的公式而使之受到哥德尔理论的打击，机器不能把这个公式作为定理推导出来，但是人心却能看出它是真的。因此这台机器不是心的一个恰当模型。我们总想制造心的一种机械模型，即从本质上是‘死’的模型，而心是‘活’的，它总能比任何形式的、僵死的系统干得更好”[6]。这也诚如英国数学家、物理学家罗杰·彭罗斯所说，人类判断数学真理的过程是超越任何算法的，因为，意识是我们赖以理解数学真理的关键，这种意识是我们能够借直觉的洞察力“看出”某些在数学形式系统中不能证明的数学命题的真理性，而意识是不能被形式化的，它必定是非算法的。因此，计算机不过是强人工智能专家所钟爱的一副“皇帝新脑”而已[7]。

    第三，数学是科学的基础，数学的不完备性说明科学结论也是不完备的。自从近代科学开始自然的数学化努力以来，科学问题就是被数学编码的问题，科学结论就是被数学化的结论。正是由于作为科学的语言、模式、方法和工具的数学本身的不完备性，导致了由它所表述、绘制的科学结论的不完备性。

    科学结论的不完备性具有重大的科学价值。科学结论的不完备性预示着存在着许多不可解的科学问题或否定性的科学结论，从而产生了一大批限制性成果。如，计算机与人工智能之父图灵证明没有一个程序能够证明检验任何程序是否将在某个时候停止（即停机问题）。

    科学结论的不完备性还有着独特的哲学意义。正如我国著名科学家郝柏林院士所言，“否定比肯定更具普遍性”[8]。在科学上，一个否定性结论的形成往往标志着一个新科学方向的产生。认识到绝对温度零度不能达到，恰恰是低温物理学的开始；认识到质点不能超光速运动，正好是相对论的开端；认识到测不准原理，恰好是量子力学的诞生；如今，又是由于不确定性、不可预测性现象的发现，一门全新的复杂性科学正在蓬勃兴起。

    第四，哥德尔不完备性定理从科学的层次上揭示了人类认识的局限性。在回答有关自然和人类社会的问题上，许多人似乎从来就没有经过认真地思考便不由自主地接受了人的心智或认知能力是没有根本性限制的观点。但是，自己的创造物正是反观自己的最好镜面，数学作为人类心智与理性的产物，正好反观了人类认知的局限性或不完备性。形式系统的不完备性必然根源于它的创造者的不完备性。

人类心智与理性的不完备性也是基于人类及其心智和理性均是生物进化的产物这一基本认识的必然推断。只要人们承认这一进化论的结论，那么就不难认识到，人类的心智与理性是受制于进化水平的。也就是说，人类进化到什么程度，其心智与理性便达到什么水准，它们是处在一个不断进化的过程之中的，它们本身就是人类生命的一个有机组成部分。这样一来，任何一个特定历史阶段，人的心智与理性水准都是有限的，它不可能穷尽无限，达到全知。心理与理性的这种有限性或局限性，必然通过自己的不完备的创造物得以显现。

    三

    哥德尔定理也同样震撼到西方以笛卡尔、洛克为代表的基础主义知识论传统。长期以来，知识的确定性是人类认识客观世界所坚守的信条。罗素就曾经说过：“我像人们需要宗教信仰一样渴望确定性。”[5]230人们普.遍认为，真正的知识不同于意见或主观信念，它是绝对确定的、必然的真理，不容置疑。这一根深蒂固的观念始于柏拉图对知识的探询。他认为知识源于独立于时空之外的、不可知觉的理念世界，而在理念世界中的事物是永恒的、确定不变的，因此知识是确定的、可靠的、真实的。而意见或信念却源于可感知的现象世界，现象世界中的事物是短暂的、流变的、不确定的，因此意见或信念是不可靠、不确定的。两千多年来，人们的认识总是在思维中舍弃对象世界和自身的不确定性的因素，通过思维中的确定性来建构对象世界的确定性，从而达到对对象世界的确定性认识。

    数学知识的确定性、绝对性和永恒性观念有着悠久的历史传统。欧几里德几何学曾经代表了认识追求确定性的不可抗拒的尊严。自古希腊确立理性主义的认识方式以来，认识总是追求具有普遍必然性的确定性知识。理性主义知识论者笛卡尔更是将数学视为知识的唯一范式，“因为它的立足于公理上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的。数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法”[9]6。

    知识的确定性观念伴随着数学强大无比的对自然现象的阐释力被进一步强化了。拉普拉斯甚至说，“世界的未来是完全由它的过去决定的，而且只要掌握了这个世界在任一给定时刻的状态的数学信息，就能预报未来”[9]230。正是由于先贤建构并确立了追求确定性知识的科学认识的思维方式并形成传统，后来的哲学家总是寻求对所获得的科学知识进行普遍必然性的逻辑辩护。直到今天，确定性依然是绝大多数人心目中科学之为科学的本质特征。这是传统知识论的主题，也是科学哲学的主题。

    但是哥德尔不完备定理说明，不确定性是人类认识的形式逻辑思维本身固有的。即使纯粹数学也无法彻底达到确定性，进一步，数学概念和理论如果结合于人们的实际经验和科学观察，就会产生更大的不确定性。因而，在任何认识中绝对的确定性是没有的。“哥德尔直言不讳地说过，我们没有任何绝对确定的知识。言外之意，哪怕极其简单的事情，我们也无绝对把握说自己完全捕获了堪称终审法庭的客观实在”[10]。克莱因对此总结为，“人类对于宇宙以及数学地位的认识已被迫作出了根本性的改变，…。现在我们知道，数学已不再受到普遍尊重和景仰。数学曾经被认为是精确论证的顶峰，真理的化身，是关于宇宙设计的真理”[5]序。“这可能是本世纪某些人声称的数学的一大特征，即其结果的绝对确定性和有效性已丧失”[5]269。著名物理学家霍金则诙谐地说：“上帝不仅掷骰子，有时他还把骰子扔到了找不到它们的地方。”[11]

    承认知识的不确定性，对建立正确的科学观有何重要意义？我们认为，科学上的结论其实并不具有许多人所坚持的本体论意义，而只具有认识论意义。这就是说，我们反对把科学结论看作是对真实世界的终极反映，相反，科学结论只是人们用心智与理性构建的自然图景。具体说，相对论中的质点不能超光速运动，只是相对论自然图像中的表象，它与真实世界中的物质是否可以超光速运动并不相干，或者说，它并不能排斥真实世界中（可能存在的）物质的超光速运动。量子力学中的测不准原则，也只是量子力学自然图景中的表象，它并不排斥真实世界中的粒子总是存在着确定的位置和速度，只不过人们无法同时测量出它们的精确值。如今混沌学、复杂性科学中所揭示出的一些不可计算、不可预测现象，依然是自然图景中的表象，不可计算，不可预算，只是在认识论意义上反映了人的认知的一种缺陷，这丝毫不影响真实世界本身的“计算”。“自然界不是存在着，而是生成着并消逝着”[12]。无论人类为它绘制的图景是不是像，它都毫不在乎，并自在地生成着，消逝着。图景只于绘制它的人类有益。

    但另一方面，绝对确定性知识的不可能与知识不确定性的凸现，并不意味着知识论的“死亡”，而是知识论的“新生”。知识的确定性应由此获得新的意义，它可视为人类理性的一种理想追求。知识“尽管并不是完美的佳作，即使不断完善也未必能去除所有的瑕疵，然而它是人类与感性知觉世界之间最有效的纽带”[5]366，“就知识的确定性而言，数学是一种理想，我们为这一理想而奋斗，尽管我们也许永远不会到达。确定性也许只不过是我们在不断捕捉的一个幻影，它是如此无止境地难于捉摸。然而理想具有力量和价值，公正、民主和上帝都是理想。的确，也有在上帝的幌子下被谋杀的人，审判不公的案件也臭名远扬，但是，这些理想是千百年来文化的重要产物”[5]366。

    因此，追求绝对确定性知识的不可能，并不意味着我们在知识的可靠性上，一定要采取一种彻底怀疑主义的态度。怀疑主义虽给我们提供了更深更广的思想空间，但它的假设性前提——知识如没有绝对正确的把握就不应产生，也是不现实的。世界上虽没有那种不容置疑的绝对确定性知识，但知识也不是非要有这种不容置疑的绝对确定性不可。因为，尽管我们对任何事物的认识随时都会犯错误，但是我们的认识毕竟在这样的易谬论中真的前进了。知识的历史，就是人类不懈追求知识的绝对确定性而逐步显现知识的不确定性的历史。